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超越無限(To Infinity and beyond)

問:什麽比“多得數不清”(bazillion)還多? 答:無限! 但是“無限”可不是一個容易解釋的詞匯。到底“無限”的定義是什麽?他是一個數目字嗎?

Photo by stichnin

什麽是無限?

試想象,如果有人嘗試要你以一個無限大的數目字來解釋“無限”的定義的話你會怎麽回答?

999999999999999999?
9999999999999999999999999999?
9999999999999999999999999999999999999999999999999999?

當然,以上數目字都不是無限大。事實上,只要舉例的是一個數目字,那就不可能是無限了。因為只要在你舉例的數目字後面再加個數字的話就可以讓那個數目字更大。這讓我想起兒時我們常常與其他小孩打賭的方式。(實際上,我現在有時還是會這樣做。):

“我打賭你不敢做”
“我雙倍賭你你不敢做”
“不好意思,因為我三倍賭你不敢”
“哈~你輸了,我賭你一百萬倍不敢”
“才不是呢!我賭你無限倍不敢做”
“好!我就無限加一倍賭你不敢做50次伏地挺身,認輸了吧~!”

Photo by kamiraze

如果“無限”不是一個數目字的話,那是什麽呢?我們或許應該這樣說—“無限”是一種概念,指的是某樣無止境的東西。這樣解釋可能有些含糊,但是有時候越是要理清疑問,疑問反而越多。

阿奇裏斯悖論(Achilles and the Tortoise)

芝諾(Zeno of Elea)是最早接觸“無限”這種概念的哲學家之一。他生活於公元前490年到430年的古希臘。他曾提出了幾個關於“無限”概念的悖論故事,而阿奇裏斯悖論就是其中之一。

Photo by megwwan

想象一下阿奇裏斯(Achilles)和他跑得最慢的朋友烏龜先生進行了一場賽跑。由於阿奇裏斯對贏得比賽非常有自信。他決定讓烏龜領先他100米起跑。比賽開始!阿奇裏斯和烏龜先生各自用他們最快的速度向前奔跑。過了不久,阿奇裏斯已經跑了100米。就在這個時候,烏龜先生也向前跑了一段的距離。嗯,就我們就說它跑了10米吧。試想想,阿奇裏斯還需要再跑上10米才能追上烏龜。可是當他再跑了10米之後,烏龜先生這時又再向前移動了一點點。由於這個過程一直的持續下去,看起來就像是不管阿奇裏斯再怎麽追趕,卻也總是追不上烏龜先生!阿奇裏斯必須花一些時間來到達烏龜之前所在的位置。但他到達那個位置時,烏龜卻又在這段時間裏向前移動了一點點。所以這故事指出了盡管阿奇裏斯與烏龜之間的距離會越來越小,但阿奇裏斯卻也永遠也趕不上他那背著龜殼的朋友!

Photo by rav_bunneh

雖然不是很直接,但是芝諾的故事中的所提出難題表達了他對“無限”概念。即阿奇裏斯嘗試完成無限次的追逐以期趕上烏龜。當阿奇裏斯到達第一個點時(烏龜的起跑點),烏龜已到達第二個點。當阿奇裏斯到達第二個點的時候,烏龜已到達第三個點。阿奇裏斯到達第三個點時,烏龜已經到第四個點……就這樣直到無限次。也就是說在這個故事裏,阿奇裏斯必須設法完成無限次的追逐(到達第一點、第二點、第三點…..等等)以便趕上他的朋友。

當然,芝諾的故事在現實中是不可能發生的。我們都知道現實中阿奇裏斯可以輕而易舉的趕在烏龜的前面。那麽,這故事到底是怎麽一回事呢?把答案寫在下面的留言版裏吧!我需要你那無限的智慧來協助解答這個悖論!

Photo by antibiotyx

tomas_bates 編寫, kiwikoh 翻譯

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The original version of this article is written in: English. It is also available in: Deutsch & Spanish.